Tìm tập hợp điểm m thỏa mãn đẳng thức vectơ

     

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài xích toán xác định điểm tốt tập đúng theo điểm ưng ý đẳng thức vectơ đến trước, ngoài ra là một vài ví dụ minh họa tất cả lời giải chi tiết giúp độc giả nắm vững phương pháp giải quyết dạng toán này.

Bạn đang xem: Tìm tập hợp điểm m thỏa mãn đẳng thức vectơ

Phương pháp giải toán:1. Xác minh điểm $M$ chấp nhận một đẳng thức vectơ mang lại trước:• Ta biến hóa đẳng thức vectơ mang lại trước về dạng $overrightarrow OM = overrightarrow v $, trong các số ấy điểm $O$ cùng vectơ $overrightarrow v $ sẽ biết.• Khi đó điểm $M$ hoàn toàn xác định.

Xem thêm: ✓ Hướng Dẫn 3 Cách Khôi Phục Video Đã Xóa Trên Youtube Hiệu Quả Nhất

2. Xác định tập vừa lòng điểm $M$ nhất trí đẳng thức vectơ mang đến trước:Ta bao gồm thể thay đổi đẳng thức đã đến về một trong những dạng:• trường hợp $left| overrightarrow AM ight| = R$ ($R$ là hằng số) thì tập hợp các điểm $M$ là mặt đường tròn tâm $A$, nửa đường kính $R$ trường hợp $R > 0$; $M ≡ A$ giả dụ $R = 0$; là tập rỗng nếu như $R • trường hợp $left| overrightarrow MA ight| = kleft| overrightarrow BC ight|$ ($A$, $B$, $C$ mang đến trước) thì tập thích hợp điểm $M$ là đường tròn trọng điểm $A$, bán kính bằng $k.BC.$• nếu như $left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MB ight|$ với $A$, $B$ cho trước thì $M$ thuộc con đường trung trực của đoạn $AB.$• nếu như $overrightarrow MA = koverrightarrow BC $ ($A$, $B$, $C$ mang đến trước) thì tập hòa hợp điểm $M$ là:+ Đường thẳng qua $A$ tuy vậy song với $BC$ giả dụ $k ∈ R.$+ Nửa mặt đường thẳng qua $A$ tuy nhiên song với $BC$ theo hướng $overrightarrow BC $ cùng với $k ∈ R^+ .$+ Nửa đường thẳng qua $A$ tuy vậy song với $BC$ theo hướng ngược với $overrightarrow BC $ cùng với $k ∈ R^- .$3. Xác minh tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức của tích vô hướng:Ta có thể biến hóa đẳng thức tích vô hướng đã mang lại về một trong các dạng (ngoài đầy đủ trường thích hợp trên):• nếu $overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0$ ($A$, $B$ cầm định) thì $M$ thuộc mặt đường tròn đường kính $АВ.$• nếu $overrightarrow MH .overrightarrow AB = 0$ ($H$ cầm định, $overrightarrow AB $ vectơ ko đổi) thì tập hợp $M$ là mặt đường thẳng $Δ$ qua $H$ vuông góc $AB.$

Ví dụ minh họa:Ví dụ 1: mang đến tam giác $ABC.$a) khẳng định điểm $M$ thỏa mãn $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0.$b) xác minh điểm $N$ thỏa mãn $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = overrightarrow 0 .$c) xác định điểm $P$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ (với $K$ là vấn đề tùy ý).

Xem thêm: Nơi Bán Laptop Asus K555Ld /Xx363D/Vga 2G, Nơi Bán Laptop Asus K555Ld

*

a) điện thoại tư vấn $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $CI.$Ta có: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow MJ = vec 0 .$Do đó: $J equiv M.$b) call $E$ là trung điểm của $AC.$Ta có: $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NC + overrightarrow CA )$ $ – 2(overrightarrow NC + overrightarrow CB )$ $ + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow NC + overrightarrow CA – 2overrightarrow CB = overrightarrow 0 $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow CA – 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = (overrightarrow BA – overrightarrow BC ) + 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow BA + overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = 2overrightarrow BE $ tốt $ overrightarrow CN = overrightarrow BE .$c) Ta có: $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow KC + overrightarrow CA + 2(overrightarrow KC + overrightarrow CB ) – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$Vì $A$, $B$, $C$ mang lại trước phải $overrightarrow a = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB $ xác định. Vậy tập vừa lòng điểm $P$ thỏa mãn $overrightarrow CP = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$

Ví dụ 2: mang đến tam giác gần như $ABC$ cạnh $a.$a) tìm kiếm tập phù hợp điểm $M$ thỏa mãn nhu cầu $MB^2 + 2MC^2 = k.$b) tìm tập hợp điểm $N$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$

*

Ta có: $MB^2 + 2MC^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow MB ^2 + 2overrightarrow MC ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow MI + overrightarrow IB )^2 + 2(overrightarrow MI + overrightarrow IC ) = k$ $ Leftrightarrow 3MI^2 + 2overrightarrow MI (overrightarrow IB + 2overrightarrow IC )$ $ + IB^2 + 2IC^2 = k.$Gọi $I$ là điểm sao cho $overrightarrow IB + 2overrightarrow IC = vec 0$ và $IC = fraca3$, $IB = frac2a3.$Khi đó: $ – 3MI^2 = IB^2 + 2IC^2 – k.$Suy ra: $MI^2 = frac3k – 2a^29.$Vậy:+ nếu như $3k – 2a^2 + giả dụ $3k – 2a^2 = 0$ $ Leftrightarrow k = frac23a^2$, khi đó $M equiv I.$+ ví như $3k – 2a^2 > 0$ $ Leftrightarrow k > frac23a^2$, khi ấy tập hòa hợp $M$ là con đường tròn trung khu $I$, bán kính $R = frac13sqrt 3k – 2a^2 .$b) gọi $G$ là giữa trung tâm tam giác $ABC.$Ta có: $overrightarrow NA + overrightarrow NB + overrightarrow NC = 3overrightarrow NG .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ + 2(overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA )$ $ = 9NG^2.$Khi đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – left( NA^2 + NB^2 + NC^2 ight)2.$Mặt khác: $overrightarrow NA = overrightarrow NG + overrightarrow GA $ $ Rightarrow NA^2 = NG^2 + GA^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GA .$Tương tự:$NB^2 = NG^2 + GB^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GB .$$NC^2 = NG^2 + GC^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GC .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ = 3NG^2 + 3GA^2$ $ + 2overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ (vì $GA = GB = GC$) $ = 3NG^2 + 3left( frac23 cdot fracasqrt 3 2 ight)^2$ $ = 3NG^2 + a^2.$Từ đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – 3NG^2 – a^22$ $ = 3NG^2 – fraca^22.$Mà $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$Nên $3NG^2 – fraca^22 = frac5a^22$ $ Rightarrow NG^2 = a^2$ xuất xắc $GN = a.$Vậy tập đúng theo điểm $N$ là đường tròn trọng điểm $G$ nửa đường kính là $a.$

Ví dụ 3: mang lại tứ giác $ABCD.$a) khẳng định điểm $O$ làm sao cho $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD .$b) search tập hòa hợp điểm $M$ vừa lòng hệ thức $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|.$

*

a) Ta có: $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD $ $ Leftrightarrow overrightarrow OB + 4(overrightarrow OB + overrightarrow BC )$ $ = 2(overrightarrow OB + overrightarrow BD )$ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow BD – 4overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2(overrightarrow BD – overrightarrow BC ) – 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow CD + 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 4overrightarrow CI $ ($I$ là trung điểm $BO$) $ Leftrightarrow overrightarrow OB = frac43overrightarrow CI .$Vậy $O$ là đỉnh của hình bình hành $IBON$ với: $overrightarrow IN = frac43overrightarrow IC .$b) Ta có: $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| overrightarrow MO + overrightarrow OB + 4(overrightarrow MO + overrightarrow OC ) – 2(overrightarrow MO + overrightarrow OD ) ight|$ $ = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| 3overrightarrow MO ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ vị $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC – 2overrightarrow OD = vec 0.$Do đó: $left| overrightarrow MO ight| = left| overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow MO = MA.$Vậy tập hợp $M$ là con đường trung trực của đoạn thẳng $OA.$

Ví dụ 4: cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Điểm $M$ ngẫu nhiên nằm vào tam giác bao gồm hình chiếu xuống $BC$, $CA$, $AB$ theo thứ tự là $D$, $E$, $F.$a) tìm tập vừa lòng điểm $M$ hiểu được $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ cùng phương cùng với $overrightarrow BC .$b) tra cứu tập hợp các điểm $M$ hiểu được $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight| = left| overrightarrow MA ight|.$

a)

*

Ta có: $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = overrightarrow MD + overrightarrow MA .$Gọi $I$ là trung điểm của $AD.$Khi kia $overrightarrow MD + overrightarrow MA = 2overrightarrow MI .$Vậy $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = 2overrightarrow MI .$Để $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ cùng phương với $overrightarrow BC $ thì $overrightarrow MI $ thuộc phương $overrightarrow BC .$Suy ra: $overrightarrow MI $ thuộc phương $overrightarrow PQ $ (với $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ tuy nhiên song với cạnh $BC$).Do đó tập đúng theo $M$ là đoạn $PQ.$b)

*

Gọi $M’$ là điểm trên đường cao $AH$ sao để cho $AM’ = MD$, có nghĩa là $AMDM’$ là hình bình hành.Ta có: $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight|$ $ = left| overrightarrow MD + overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MA ight|.$Suy ra: $left| overrightarrow MM’ ight| = left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow M’D ight|.$Dễ thấy $MD = frac23AH.$Vậy $M$ nằm trên phố thẳng tuy nhiên song cùng với $BC$, bí quyết $BC$ một khoảng tầm bằng $frac23AH$ dẫu vậy trừ những điểm nằm phía xung quanh tam giác $ABC.$

Ví dụ 5: mang lại điểm $A$, $B$ thắt chặt và cố định với $AB = a.$a) tra cứu tập phù hợp điểm $M$ làm sao cho $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2.$b) tìm tập hòa hợp điểm $N$ thỏa: $NA^2 + 2NB^2 = k$ ($k$ là hằng số thực dương).

a) Ta có: $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + (overrightarrow MA + overrightarrow AB ).overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB + overrightarrow AB ^2 = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB = 0$ $ Leftrightarrow quad overrightarrow MA .(overrightarrow MA + overrightarrow AB ) = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0.$Vậy tập hòa hợp điểm $M$ là con đường tròn đường kính $AB.$b) gọi $I$ là điểm sao mang đến $overrightarrow IA + 2overrightarrow IB = vec 0$, bởi $A$, $B$ cố định và thắt chặt nên $I$ cố kỉnh định.Ta có: $NA^2 + 2NB^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow NA ^2 + 2overrightarrow NB ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NI + overrightarrow IA )^2 + 2(overrightarrow NI + overrightarrow IB )^2 = k$ $ Leftrightarrow NI^2 + 2overrightarrow NI .overrightarrow IA + IA^2$ $ + 2NI^2 + 4overrightarrow NI .overrightarrow IB + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 + 2overrightarrow NI (overrightarrow IA + 2overrightarrow IB )$ $ + IA^2 + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 = k^2 – left( IA^2 + 2IB^2 ight)$ $ Leftrightarrow NI^2 = frac13left( k^2 – 6IB^2 ight)$ $NI^2 = frac13left( k^2 – frac2a^23 ight)$ (vì $IB = frac13AB$).Vậy:+ trường hợp $k^2 > frac2a^23$ thì tập vừa lòng điểm $N$ là mặt đường tròn trung tâm $I$, nửa đường kính $R = sqrt frac13left( k^2 – frac2a^23 ight) .$+ trường hợp $k^2 = frac2a^23$ thì tập thích hợp điểm $N$ đó là $I.$+ ví như $k^2 Ví dụ 6: mang lại tam giác $ABC$ phần lớn cạnh bằng $a.$a) tìm tập phù hợp điểm $M$ thỏa $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0.$b) tra cứu tập đúng theo điểm $N$ thỏa $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2.$c) search tập thích hợp điểm $P$ thỏa $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2.$

a) hotline $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $AC$, ta tất cả $I$, $J$ ráng định.Ta có: $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI .2overrightarrow MJ = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MI .overrightarrow MJ = 0.$Vậy tập vừa lòng điểm $M$ là con đường tròn đường kính $IJ.$b) điện thoại tư vấn $G$ là giữa trung tâm tam giác $ABC.$Ta có: $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NG + overrightarrow GA )^2 + (overrightarrow NG + overrightarrow BG )^2$ $ + (overrightarrow NG + overrightarrow GC )^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2.$Trong đó: $GA = GB = GC$ $ = frac23fracasqrt 3 2 = fracasqrt 3 3.$Vậy $3NG^2 = 3a^2 Leftrightarrow NG^2 = a^2.$Do kia tập hợp điểm $N$ là con đường tròn trung tâm $G$ bán kính bằng $a.$c) Ta có: $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2$ $ Leftrightarrow 3(overrightarrow PG + overrightarrow GA )^2$ $ = 2(overrightarrow PG + overrightarrow GB )^2 + (overrightarrow PG + overrightarrow GC )^2$ $ Leftrightarrow 3PG^2 + 6overrightarrow PG .overrightarrow GA + 3GA^2$ $ = 2PG^2 + 4overrightarrow PG .overrightarrow GB + 2GB^2$ $ + PG^2 + 2overrightarrow PG .overrightarrow GC + GC^2$ $ Leftrightarrow 6overrightarrow PG .overrightarrow GA – 4overrightarrow PG .overrightarrow GB – 2overrightarrow PG .overrightarrow GC = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG (3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC ) = 0.$Mặt khác: $3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC $ $ = 3overrightarrow GA – 2(overrightarrow GA + overrightarrow AB ) – (overrightarrow GA + overrightarrow AC )$ $ = – (2overrightarrow AB + overrightarrow AC ).$Gọi $H$ là điểm sao cho $2overrightarrow HB + overrightarrow HC = 0.$Khi kia $2overrightarrow AB + overrightarrow AC $ $ = 2(overrightarrow AH + overrightarrow HB ) + (overrightarrow AH + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow AH .$Suy ra đẳng thức vẫn cho trở thành $overrightarrow PG .overrightarrow 3AH = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG .overrightarrow AH = 0.$Vậy tập hòa hợp điểm $P$ là đường thẳng qua $G$ và vuông góc với $AH.$